Les Fractales: une passion à découvrir

Quelques images de fractales créées par notre ami Bernard de Royan.

Une occupation qui peut prendre pas mal de temps en ces périodes de confinement. Avec des créations à l'infini, sur ordinateur.

Explications tirées de Wikipedia

Une figure fractale est un objet mathématique, telle une courbe ou une surface^[pas clair], qui présente une structure similaire à toutes les échelles.

L'adjectif « fractal », à partir duquel l'usage a imposé le substantif une fractale pour désigner une figure ou une équation de géométrie fractale, est un néologisme créé par Benoît Mandelbrot en 1975¹ à partir de la racine latine fractus, qui signifie « brisé », « irrégulier », et de la désinence -al présente dans les adjectifs naval et banal (pluriels : navals, banals, fractals). De nombreux phénomènes naturels – comme le tracé des lignes de côtes ou l'aspect du chou romanesco – possèdent des formes fractales approximatives.

Les fractales sont définies de manière paradoxale, à l'image des poupées russes qui renferment une figurine identique à l'échelle près : « les objets fractals peuvent être envisagés comme des structures gigognes en tout point – et pas seulement en un certain nombre de points, les attracteurs de la structure gigogne classique. Cette conception hologigogne (gigogne en tout point) des fractales implique cette définition récursive : un objet fractal est un objet dont chaque élément est aussi un objet fractal (similaire)

Objets fractals dans la nature[modifier | modifier le code]

 

Le chou romanesco, un exemple de forme fractale naturelle.

 

Une fougère fractale, modélisée en utilisant un système de fonctions itérées.

Des formes fractales approximatives sont facilement observables dans la nature. Ces objets ont une structure autosimilaire sur une échelle étendue, mais finie : les nuages, les flocons de neige, les montagnes, les réseaux de rivières, le chou-fleur ou le brocoli, et les vaisseaux sanguins.

Les arbres et les fougères sont de nature fractale et peuvent être modélisés par ordinateur à l'aide d'algorithmes récursifs comme les L-Systems. La nature récursive est évidente dans ces exemples ; la branche d'un arbre ou la fronde d'une fougère sont des répliques miniatures de l'ensemble : pas identiques, mais de forme similaire.

La surface d'une montagne peut être modélisée sur ordinateur en utilisant une fractale : prenons un triangle dans un espace tridimensionnel dont nous connectons les milieux de chaque côté par des segments, il en résulte quatre triangles. Les points centraux sont ensuite déplacés aléatoirement vers le haut ou le bas, dans un rayon défini. La procédure est répétée, diminuant le rayon de moitié à chaque itération. La nature récursive de l'algorithme garantit que le tout est statistiquement similaire à chaque détail.

Enfin, certains astrophysiciens ont remarqué des similitudes dans la répartition de la matière dans l'Univers à six échelles différentes. Les effondrements successifs de nuages interstellaires, dus à la gravité, seraient à l'origine de cette structure (partiellement) fractale. Ce point de vue a donné naissance au modèle de l'univers fractal, décrivant un univers fondé sur les fractales.